La geometría se ve en la escuela como una colección de fórmulas que responden a la pregunta de cómo calcular el área. Sin embargo, el cálculo de áreas no se trata solamente de aprenderse fórmulas y aplicarlas bien, sino de razonar y ver que las figuras se pueden dividir en otras más sencillas.
El área es una medida de superficie. Por tanto, no basta con responder solamente con un número: también hay que indicar las unidades, que serán metros cuadrados, centímetros cuadrados o cualquier otra unidad cuadrada.
El área como suma de unidades cuadradas
Si el polígono del que quieres saber el área se encuentra sobre una cuadrícula, hay una manera muy sencilla de calcularla: contar los cuadros que cubre.
Debajo de la cuadrícula hay un cuadradito que nos dice cuánto mide cada cuadrado; es la leyenda de esta figura, y nos dice que cada cuadradito equivale a un centímetro cuadrado.
Esta forma tan sencilla de responder a la pregunta de cómo calcular el área se puede aplicar cuando la figura está compuesta de varios polígonos, lo que se llama un polígono compuesto.
Contar cuadrados puede estar bien, pero si hay muchos puede que te saltes alguno o que lo cuentes dos veces. Para evitar esos errores, la figura puede dividirse en partes conocidas y después sumarse las áreas de todas ellas.
Descomponer figuras para sumar sus áreas
Como se ha visto a lo largo de esta larga entrada, el cálculo de áreas no se trata solamente de aprenderse fórmulas y aplicarlas bien, se trata de razonar y ver que las figuras se pueden dividir en otras más sencillas.
Unas veces serán lados, otras, alturas, otras diagonales, pero lo más probable es que sean triángulos.
Área de un cuadrado
La fórmula para el cálculo del área del cuadrado es la multiplicación de los lados, es decir, lado por lado.
Si se conoce la longitud de su lado, basta multiplicar esa medida por sí misma. El resultado se expresa en unidades cuadradas.
Área de un rectángulo
Si la figura de la que quieres saber cómo se calcula el área es un rectángulo, hay una manera mucho más rápida.
Si no hay debajo una cuadrícula, pero sí conoces el ancho y el alto del rectángulo, puedes multiplicar ambas medidas.
Eso sí, tendrás que llevar precaución de que las dos medidas estén en la misma unidad, esto es, ambas en centímetros, en decímetros o en metros, para poder decir que el área es de tantos centímetros cuadrados, decímetros cuadrados o metros cuadrados.
La fórmula para el cálculo del área del rectángulo es la multiplicación de la base por la altura, es decir:
A = base × altura
Área de un triángulo
El caso más sencillo es el del triángulo rectángulo.
Como del apartado anterior ya sabemos que el área del rectángulo se calcula multiplicando base por altura, el área del triángulo será la mitad de ese producto.
La fórmula para el cálculo del área del triángulo es la multiplicación de la base por la altura sobre dos, es decir:
A = base × altura ÷ 2
Si en nuestro dibujo la distancia entre dos clavitos del geoplano es 1 centímetro, el rectángulo tendría 3 × 6 = 18 cm², el triángulo tendrá la mitad, exactamente 9 cm².
Tanto los triángulos acutángulos como los obtusángulos se pueden ver como medio romboide: si copias y pegas el triángulo al lado del otro, se puede comprobar.
Área de un romboide
Un romboide es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos.
Al copiar uno de los triángulos que aparece en un extremo y colocarlo en el otro, el resultado es un rectángulo.
La fórmula para el cálculo del área del romboide es la multiplicación de la base por la altura, es decir:
A = base × altura
Área de un rombo
Un rombo es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales.
La fórmula para el cálculo del área del rombo es la multiplicación de la diagonal mayor por la diagonal menor sobre dos, es decir:
A = diagonal mayor × diagonal menor ÷ 2
Cualquiera de esos triángulos va a tener de área base por altura partido por dos; su base es media diagonal menor y su altura es media diagonal mayor. Por tanto, el área de uno de esos triángulos es diagonal mayor por diagonal menor partido de 8.
Área de un trapecio
La fórmula para el cálculo del área del trapecio es la multiplicación de la altura por la suma de la base mayor por la base menor sobre dos, es decir:
A = altura × (base mayor + base menor) ÷ 2
Área de un polígono
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
De esta manera, una figura que no tiene una fórmula sencilla puede convertirse en una suma de áreas triangulares.
Área de un polígono regular
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y también todos sus ángulos iguales.
Para poder calcular su área con herramientas de primaria o principios de secundaria te tienen que dar la medida de su lado, de cualquiera de ellos, son todos iguales, y de su apotema, que es la línea que une el centro del polígono con la mitad del lado.
El área de uno de esos triángulos será lado por apotema partido de dos y el área total será 7 por lado por apotema partido de dos.
Un momento, ¿7 veces el lado no será el perímetro de todo el polígono?
Por tanto, el área de un polígono regular puede entenderse como la suma de las áreas de los triángulos que se forman al unir el centro con cada uno de sus lados.
Ejemplos de áreas obtenidas por suma
Triángulo equilátero con semicírculos
En el dibujo se da un triángulo equilátero.
La longitud de cada uno de sus lados es 7 cm.
Para cada lado se coloca un semicírculo.
¿Cuál es el área de la forma entera?
Respuesta: 78.91 cm²
Región entre un trapecio y un círculo
Dado el trapecio ABCD encerrado en el círculo, del punto O sale el radio al punto C.
Dado en cm: DC=12, OK=3, NB=4, NO=5.
Calcula el área entre el trapecio y el círculo, es decir, el área vacía.
Respuesta: 61.3
Área formada por sectores circulares
Del punto O en el círculo sacamos el radio al punto D en el círculo.
Respuesta: 36.54
Respuesta: 32+20π cm²
De las figuras conocidas a las regiones irregulares
Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma.
Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento, que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total.
En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas.
Encontrar el área bajo la curva de una función, f(x), es uno de los problemas centrales que surge en Cálculo.
Ya sabes cómo calcular el área de algunas formas simples de curvas de función usando fórmulas geométricas, y a veces puedes usar rápidamente estos métodos. Pero, ¿qué harías si las curvas de función fueran más complejas?
Para conocer la idea de encontrar el área bajo una curva, toma una curva de parábola simple, cóncava hacia arriba y positiva, divide un intervalo en el eje x en un número de subintervalos iguales y dibuja un rectángulo en cada subintervalo que intersecta la parábola.
La suma de los rectángulos sería una estimación del área.
Aproximar el área con rectángulos
En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f(x), y el eje x en un intervalo cerrado [a,b].
Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida, es decir, rectángulos.
Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área.
Supongamos que f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [a,b]. ¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo de esta curva?
El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera.
Comenzamos dividiendo el intervalo [a,b] en n subintervalos de anchos iguales, b−a/n.
Un conjunto de puntos P={xi}, por i=0,1,2,…,n, con a=x0<x1<x2<⋯<xn=b, que divide el intervalo [a,b] en subintervalos de la forma [x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn] se llama una partición de [a,b].
Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva.
Suma por el extremo izquierdo
En cada subintervalo [xi−1,xi], para i=1,2,3,…,n, construye un rectángulo con anchura Δx y altura igual a f(xi−1), que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo.
Entonces el área de este rectángulo es f(xi−1)Δx.
Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A.
Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo.
Para una parábola cóncava hacia arriba, deberías poder ver que usando un rectángulo del extremo izquierdo subestima el área debajo de la parábola.
Suma por el extremo derecho
El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho.
Construir un rectángulo en cada subintervalo [xi−1,xi], solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f(xi) en el punto del extremo derecho del subintervalo.
En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo.
En la Figura 5.5(b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a xi, de manera que xi es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f(xi) por i=1,2,3,4,5,6.
Multiplicamos cada f(xi) por Δx para hallar las áreas rectangulares y luego sumarlas.
Para una parábola cóncava hacia arriba, un rectángulo del extremo derecho sobreestima el área.
Ejemplo con f(x)=x²
Consideremos nuestra función cuadrática básica f(x)=x².
Supongamos que estamos interesados en encontrar el área, A, bajo la curva de x=0 a x=1.
¿Cómo podemos hacer una mejor estimación?
Ahora construiremos cuatro rectángulos que servirán de base para nuestra aproximación del área.
Los subintervalos servirán como el ancho de los rectángulos.
Tomaremos la longitud de cada rectángulo para que sea el valor máximo de la función en el subintervalo.
Donde tu rectángulo se cruza con la parábola establece la altura del rectángulo y solo depende del valor de x dentro del subintervalo: extremo izquierdo del rectángulo, comienzo del subintervalo; extremo derecho del rectángulo, final del subintervalo; o cualquier punto intermedio.
Para esta parábola cóncava hacia arriba, usando un rectángulo del extremo izquierdo se subestima el área debajo de la parábola, mientras que un rectángulo del extremo derecho sobreestima el área.
El área, A, bajo la curva de la función f(x)=x², desde x=0 hasta x=x₀, se acerca al valor:
A = x₀³/3
Si x₀=1, obtenemos el resultado A=1/3.
Ejemplo en el intervalo [0,3]
Los gráficos de la Figura 5.5 representan la curva f(x)=x².
En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [0,3] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5.
Así, Δx=0,5.
A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al punto del extremo izquierdo de cada subintervalo.
Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f(xi−1), por i=1,2,3,4,5,6.
Los intervalos son [0,0,5],[0,5,1],[1,1,5],[1,5,2],[2,2,5],[2,5,3].
Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura.
Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f(x) y el eje x.
En la Figura 5.5(b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a xi, de manera que xi es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f(xi) por i=1,2,3,4,5,6.
Multiplicamos cada f(xi) por Δx para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas.
Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f(x).
Por qué aumentan las aproximaciones al dividir más
Al observar la Figura 5.5 y los gráficos en el Ejemplo 5.4, podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva.
Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará.
Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo.
Exploremos la idea de aumentar n, primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos.
A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva.
La Figura 5.8 muestra el área de la región bajo la curva f(x)=(x−1)³+4 en el intervalo [0,2] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n=4.
La Figura 5.9 muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos.
Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la Figura 5.8 con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n=8.
Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación.
El gráfico en la Figura 5.10 muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva.
Parece que queda poco espacio en blanco.
Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho.
Dividiendo la región en el intervalo [0,2] en ocho rectángulos da como resultado Δx=2−0/8=0,25.
El gráfico se muestra en la Figura 5.12.
Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n=32 se acerca al área real.
Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino: los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta.
Además, a medida que aumenta n, tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas.
Sumas de Riemann: sumar áreas concretas
Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva.
Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [xi−1,xi].
En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos.
Podríamos evaluar la función en cualquier punto xi* del subintervalo [xi−1,xi], y usamos f(xi*) como la altura de nuestro rectángulo.
Supongamos que f(x) se define en un intervalo cerrado [a,b] y que P sea una partición regular de [a,b].
Sea Δx la anchura de cada subintervalo [xi−1,xi] y, para cada i, supongamos que xi* es cualquier punto en [xi−1,xi].
La notación sigma también se conoce como notación de suma y es una forma de representar una suma de números.
La letra mayúscula griega Σ, sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta.
La notación Σi=1ⁿ f(xi*)Δx permite expresar la suma de las áreas de todos los rectángulos sin necesidad de escribir cada término individual.
Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n.
Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande.
Eligiendo n tan grande como queramos, wi como cualquier valor de x en el intervalo (xi−1,xi), y (xi−xi−1) como el i-ésimo de n subintervalos, no necesariamente iguales, en el intervalo [a,b] en el que f se define, obtenemos una suma de Riemann.
Sumas superiores e inferiores
Aunque cualquier opción para {xi*} nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta, sobreestimación, o demasiado baja, subestimación.
Si queremos una sobreestimación, podemos elegir {xi*} tal que para i=1,2,3,…,n, f(xi*)≥f(x) para todo x∈[xi−1,xi].
En otras palabras, elegimos {xi*} de manera que para i=1,2,3,…,n, f(xi*) sea el valor máximo de la función en el intervalo [xi−1,xi].
Si seleccionamos {xi*} de esta manera, entonces la suma de Riemann Σi=1ⁿf(xi*)Δx se denomina suma superior.
Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir {xi*} de manera que para i=1,2,3,…,n, f(xi*) sea el valor mínimo de la función en el intervalo [xi−1,xi].
En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior.
El límite de la suma de áreas
El área bajo una curva se aproxima mejor cuando los rectángulos son cada vez más pequeños.
Al aumentar n, la anchura de cada subintervalo disminuye y la suma de las áreas rectangulares se acerca cada vez más al área real.
Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f(x) a medida que x llega al infinito.
En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de {xi*}.
Afortunadamente, esto no ocurre.
Supongamos que f(x) es una función continua y no negativa en un intervalo [a,b], y supongamos que Σi=1ⁿf(xi*)Δx es una suma de Riemann para f(x).
El área exacta se obtiene al considerar el límite de estas sumas cuando el número de subintervalos aumenta indefinidamente.
Suma de Riemann, paso a paso, MUY FÁCIL
Aplicaciones y ejercicios
- Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f(x)=1/x en [1,2]; utilice n=4.
- Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L4 y R4, respectivamente, para f(x)=(2−|x|) sobre [−2,2].
- Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L6 y R6, respectivamente, para f(x)=(3−|3−x|) sobre [0,6].
- Considerar f(x)=2−x de x=0 a x=2. Utilice sumas de Riemann con cuatro subintervalos de igual longitud.
- Repita el problema usando geometría para calcular el área exacta de la región bajo la gráfica de f(x)=2−x de x=0 a x=2.
- Considerar f(x)=x²−x de x=1 a x=4. Utilice sumas de Riemann con cinco subintervalos de igual longitud.
- Considerar f(x)=3x². Calcular la suma de Riemann de f en [0,1] bajo cada una de las situaciones indicadas.
- Considerar f(x)=eˣ. Calcular la suma de Riemann de f en [0,1] bajo cada una de las situaciones indicadas.
- Encuentra el área neta bajo la gráfica de f(x)=x³−x; x=−1 a x=1.
- Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N=10,30,50 por f(x)=sen²x en [0,2π].
- Evalúe las sumas de los puntos finales RN y LN para N=1,10,100.
La suma de áreas en el círculo
Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura.
La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen(2π/n).
La base del triángulo exterior es B=cos(π/n)+sen(π/n)tan(π/n) y la altura es H=Bsen(2π/n).
Este procedimiento muestra que incluso una región curva puede analizarse mediante muchas partes concretas, calculando el área de cada una y sumándolas.