Actividades de ecuaciones en forma concreta

Las ecuaciones de primer grado pueden resultar más comprensibles cuando se relacionan con situaciones cotidianas, objetos, cantidades, edades, distancias y compras. Trabajar las ecuaciones de forma concreta permite que el alumnado no se limite a memorizar procedimientos, sino que entienda qué representa cada número y qué significa la incógnita.

Una ecuación de primer grado nos ayudará a resolver este problema. El valor a izquierda y derecha tiene que ser el mismo. Lo que ocurre es que, en un principio, hay un valor “X” que desconocemos.

Cómo representar una situación concreta con una ecuación

Sea \(x\) el número buscado, su consecutivo (el siguiente) se obtiene al sumarle 1. El doble de \(x\) es \(2x\) y la mitad de \(x\) es \(x/2\). La cuarta parte de \(x\) es \(x/4\).

Para plantear una ecuación, primero hay que identificar la cantidad desconocida y asignarle una letra. Después se expresa mediante operaciones la relación entre las cantidades conocidas y la incógnita.

Hay que dejar la “X” sola a un lado. Cuando pasamos una cifra de un lado al otro, si está restando pasa al otro lado sumando y viceversa. Si está multiplicando, pasa como cifra dividida. Y si divide, pasa a ser multiplicada.

Es importante comprobar que la expresión representa exactamente la situación descrita y que las unidades de medida coinciden cuando aparecen distancias, velocidades, tiempos o cantidades expresadas en unidades diferentes.

Actividad concreta: calcular el precio de los balones

¡Un momento, chicos! No tengo el ticket y he de justificar el importe de la compra. Recuerdo el precio de las 11 camisetas, pero no el de los 5 balones.

Bien. Ya sabemos el importe total. Son 11 camisetas a 15 euros cada una.

En este caso la A sería lo que has pagado por las camisetas , y sabemos que son 11 camisetas a 15 euros cada; la B sería el número de balones, que sabemos que son 5, y la “X” el precio de cada balón que es lo que queremos averiguar.

Hacemos la multiplicación de 11 por 15 y nos da 165, que es lo que nos han costado las camisetas. Entonces, este número tiene signo positivo porque está sumando, por tanto habría que pasarlo al otro lado del igual con signo negativo.

Y nos quedaría que 5x = 214,76 - 165. El siguiente paso sería hacer la resta, y nos quedaría entonces que 5X es igual a 214,76 - 165 = 49,75.

Para despejar la “X”, pasamos el 5 al otro lado y, como aquí estaba multiplicando, pasa dividiendo. Así que 49’75 entre 5 nos da 9’95.

Por tanto, cada uno de los cinco balones costaba 9’95 euros.

Actividades con edades

La edad de la madre de Marta

Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad tiene la madre de Marta?

Una forma concreta de plantear la situación es llamar \(x\) a la edad de la madre y expresar que la tercera parte de esa edad es 15.

Las edades de los padres de Ana

El padre de Ana tiene 4 años menos que su madre y la mitad de la edad de la madre es 19. ¿Qué edades tienen los padres de Ana?

Luego el padre de Ana tiene 34 años y su madre tiene 38.

Edades de Carmen y sus hermanos

Ahora podemos llamar \(x\) a la edad de Ana (sin confundir con la \(x\) anterior).

Carmen tiene 16 años y sus dos hermanos pequeños tienen 2 y 3 años. El hermano pequeño tendrá \(2+x\) años. El hermano mayor tendrá \(3+x\) años. Carmen tendrá \(16+x\) años.

Obsérvese que el 2 multiplica a la suma de las edades de los hermanos. Es decir, tienen que pasar 2 años.

La edad actual de Ernesto

que tiene ahora 15 años. Llamamos \(x\) a la edad actual de Ernesto. Como Juan tiene 15 años, hace 5 años su edad era 10.

Actividades con números y operaciones

Números consecutivos

Por tanto, los tres números consecutivos que suman 219 son 72, 73 y 74.

Para construir una actividad de este tipo, se puede llamar \(x\) al primer número, \(x+1\) al siguiente y \(x+2\) al tercero. La suma de las tres expresiones debe ser igual a 219.

Mitad, doble y triple de un número

Hallar el número tal que si sumamos su mitad con su doble y su triple obtenemos 55.

Llamamos \(x\) al número que buscamos.

Por tanto, el número buscado es 10.

La diferencia entre dos números

La diferencia entre dos números es 17.

La situación puede representarse llamando \(x\) al número mayor y expresando el menor como \(x-17\), o bien utilizando dos expresiones cuya diferencia sea 17.

Un número de tres cifras

Encontrar el mayor y el menor número positivo de tres cifras en los que la segunda cifra es el triple de la primera y la tercera el cuádruple de la primera.

Esta actividad permite trabajar el valor posicional de las cifras y traducir relaciones entre ellas a expresiones algebraicas.

Actividades con cantidades y objetos

Caramelos repartidos en dos grupos

caramelos pero que uno de estos dos tenga la mitad de caramelos que el otro.

Para representar la situación, se puede llamar \(x\) a la cantidad del grupo mayor y \(x/2\) a la cantidad del grupo menor.

La cantidad de cucharas de una casa

lavaplatos y las restantes en el cajón.

de las cucharas del cajón, que son 15, se llevan a la mesa.

Llamamos \(x\) al número total de cucharas de la casa. En el lavaplatos hay la tercera parte del total, es decir, hay \(x/3\).

Las cucharas restantes estaban, inicialmente, en el cajón. La mitad de las cucharas que había en el cajón es 15.

\(x/3 = 45/3 = 15\) en el lavaplatos. 15 en el cajón.

Productos vendidos y repuestos

parte de sus productos. vendidos, que son 15 unidades. vendió en los dos primeros días?

Nota: hemos multiplicado por 1/2 la fracción para obtener su mitad.

La cantidad después de la venta y del abastecimiento es: 90 - 30 + 15 = 75 productos.

Dinero en una hucha

Para duplicar la cantidad inicial (100€) tiene que haber 200€ en la hucha.

Esta situación puede utilizarse para plantear una ecuación sobre una cantidad inicial, una cantidad añadida y el valor final que se desea alcanzar.

El depósito de agua

En una casa, el depósito de agua se encuentra al 2/7 de su capacidad.

La fracción permite representar de forma concreta qué parte del depósito está llena y qué cantidad falta para completar la capacidad total.

Actividades con dinero y compras

El pantalón y la camisa

Vicente se gasta 20 euros en un pantalón y una camisa.

vale dos quintas partes de lo que vale el pantalón.

Esta actividad permite llamar \(x\) al precio del pantalón y expresar el precio de la camisa como dos quintas partes de \(x\).

El precio de un libro

Juan tiene 400 euros y Rosa tiene 350.

el mismo libro.

cinco sextas partes del dinero que le queda a Juan. Calcular el precio del libro.

Llamamos \(x\) al precio del libro, que obviamente es el mismo para Juan y para Rosa.

El dinero de Ana, Ester y Héctor

que Héctor. Ester 25 euros a cada una. la misma cantidad que Héctor. dinero tenía cada uno al principio?

Llamamos \(x\) a la cantidad de dinero que tiene Ana inicialmente.

Ana: \(25\) euros. Ester: \(75 + 25 = 100\) euros.

Actividades con distancias, velocidades y tiempo

Recorrer un camino de un kilómetro

Recorremos un camino de 1 km a una velocidad de 6 km/h. Sabemos que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo.

Sabemos que el espacio recorrido es 1km y la velocidad es 6km/h.

Nota: obsérvese que las unidades del espacio coinciden en ambos datos (km y km/h).

\(t\), que estará dada en horas.

Consejo: podemos escribir las unidades en la propia ecuación y tratarlas como factores de la misma. Así, cuando tenemos una gran cantidad y variedad de unidades, es más fácil saber cuál es la unidad del resultado.

Conversión de unidades

Nota: no olvidemos comprobar las unidades de medida. fuese en metros, tendríamos que pasarlo a kilómetros (o cambiar la unidad de la velocidad).

Tenemos las unidades de distancia en kilómetros (en la \(e\)) y en metros (en la \(v\)), así que tenemos que pasarlas a la misma unidad. Escribiremos la velocidad en km/min para que coincidan.

Nota: hemos dividido por 1000 para pasar de metros a kilómetros y multiplicado por 60 para pasar de horas a minutos.

Nota: como min está "dividiendo" en el denominador, pasa "multiplicando" en el numerador; km desaparece porque está "multiplicando" en el numerador y en el denominador.

Nota 2: el resultado del problema obtenido es muy alto porque 120m/h es una velocidad muy lenta. Por ejemplo, las personas caminamos a unos 5.000m/h (ó 5km/h), lo cual es más de 41 veces más rápido que la velocidad de este problema.

Velocidades de dos participantes

16 km/h mientras que el último clasificado lo hizo a 7.5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la meta cada uno de ellos?

El tiempo puede calcularse relacionando la distancia recorrida con la velocidad de cada participante. La ecuación debe conservar las unidades para que el resultado se interprete correctamente.

Encuentro entre un camión y un ciclista

La distancia entre las ciudades A y B es de 50 km. A la misma hora, salen un camión de la ciudad A a 60 km/h y un ciclista de la ciudad B a 25 km/h.

Se desea calcular cuánto tardarán en encontrarse si ambos vehículos circulan por la misma carretera pero en sentido opuesto.

Cuando los dos vehículos se encuentran, el camión ha recorrido una distancia mayor que el ciclista (ya que su velocidad es mayor). Como no conocemos esta distancia, la llamaremos \(x\).

Actividades manipulativas y visuales

Modelo de balanza

Sometimes you want students to work with equations in a concrete way. This balance model from Math Playground helps your kids to see what they’re doing when they are solving equations.

One of the cool parts is that it has the equations set for them and then students work through them on the balance.

El principio fundamental es que el valor a izquierda y derecha tiene que ser el mismo. La balanza permite representar visualmente que cualquier operación realizada en un lado debe realizarse también en el otro para conservar el equilibrio.

Trabajo en pizarras blancas

I love having students work on whiteboards. In my class I have a set of 6 large whiteboards and the students love working on them. They can be on the wall or students can take them down to work on them.

Follow this link here to a series of worksheets. We rarely just do a worksheet in my class, but I love that these problems are ready for use.

For example, when whiteboarding I have a group of 2 or 3 work on the same problem together. I model the math talk that I want to happen and try to be very aware of how I group students.

Then, students get to work solving together on the white board, showing their mathematical reasoning on the board and talking about their problem solving strategy with their classmates.

Actividades digitales e interactivas

Laberintos de ecuaciones

We do a lot of mazes in my classroom. It’s a great way to start off the day. They can be used for bellwork after an introduction lesson or as cyclical review.

This set of 3 solving multi-step equations mazes have variables on both sides. Also, they increase in difficulty from maze to maze. There are integers and some fractions in the equations they’re solving.

These mazes now have a digital version too! This version is built in Google Slides and can be easily assigned in Google Classroom (or other LMS).

Escape room digital

Digital escape rooms are a great activity to help students get more practice solving multi-step equations.

In this multi-step equations digital escape room, students begin with a mystery. Then, they solve a series of problems to complete 3 puzzles.

The Multi-Step Equations Digital Escape Room activity is a low-prep activity- you simply assign a digital copy to each student.

This digital escape room activity helps students practice solving multi-step equations including a variable on both sides of the equal sign, distributive property, and integers.

Pixel art

If you’re looking for a low-prep digital practice activity for solving multi-step equations, this pixel art activity fits the bill.

Pixel art activities start with a series of questions and a scrambled picture. As students answer questions correctly, the cell turns green letting them know that they’re on the right track.

This pixel art activity is especially good for independent or partner practice.

As a teacher, you simply assign and it’s ready to go.

Juegos para practicar ecuaciones

Tarjetas de tareas: Target Game y Trashketball

Task cards can be used in a lot of different ways. One way is to use them with the whole class and to play a game with it.

You can do this with a Target Game on the board or a Trashketball using a trashcan.

Both games require students to complete a problem and then you model the answer for the class.

Then, someone gets a turn at throwing a sticky ball at a target on the board or shooting a crumpled paper into a trashcan.

They love the challenge of the target part and the whole class usually really gets into it. So simple, yet so fun.

I use some of the task cards from this multi-step equations task card set as the problems for this game (it comes in both a printable & digital version).

It’s easy, and then I have all the problems that I need for the game.

I give points to all the kids who got the question right. The amount of points depends on how the person who threw the ball or took the shot does.

Bingo de ecuaciones

This Bingo game is one of my favorite ways to review multi-step equations.

In this game, studetns will solve equations with fractions and equations with variables on both sides.

Bingo is one of my favorite ways to review any topic.

Usually, we do this activity the day of a test or the day before the test. It depends on how long the test will take.

You can have students put the bingo cards in a SmartPal sleeve or you can have them mark their paper with different symbols.

It takes a long time to get through the 30 problems and we don’t usually do all of them.

Bingo is a great cyclical review game. There rarely is someone who doesn’t want to play Bingo.

I do give prizes for the winners. Often the prize is a Jolly Rancher or some little pencil or eraser.

Jeopardy

Jeopardy has been around for a long time as a way to review concepts.

You can play Jeopardy as a whole class where everyone has to answer the question. Students keep track of their individual points.

This particular Jeopardy game from Jeopardy Labs is based on prerequisite skills for multi-step equations, including distributive property and combining like terms.

It’s a fairly quick game for my 8th graders.

I like to use games like this as an anticipatory set.

We don’t finish the whole game, but we play it for about 5 to 7 minutes.

Comecocos o fortune tellers

Using cootie catchers, or what some people call fortune tellers, is a fun way to engage students.

I find that these activities work well with kids that are apprehensive of the topic of multi-step equations.

Each partner has a cootie catcher with different problems. Then, each partner works on a different problem.

The problems in this particular cootie catcher activity include fractions and distributive property.

I’ve learned that students need to different situations when it comes to equations.

Actividades de aplicación y razonamiento

Modelar matemáticamente una situación

I love it when students get the chance to do more than just practice problems, when they really get to apply what they are learning.

Well, this activity from Illustrative Mathematics is perfect for that.

It gives students a simple example of how we model math.

Then, it challenges students to solve an equation mathematically and symbolically.

This really challenges students’ thinking, especially if math comes easy to them.

Something like this can really get them out of their comfort zone.

This activity is an extended response and will take students 15-45 minutes to complete.

There are multiple parts and if you have less time they could use do part of it.

Fast finishers can work on this as the unit progresses when they finish class work.

Vídeo para explicar la igualdad

This silly video from Shmoop gives an example of why you have to perform any operation to both sides when you solve an equation.

The video uses the story of Rudolph the Red-Nosed Reindeer.

This video is an excellent choice for an anticipatory set a couple of days into the unit.

Secuencia de trabajo y práctica

Regardless of how you teach students about multi-step equations, once they’ve learned how to solve multi-step equations, there are so many different ways to practice.

And however you choose to practice, students need lots of opportunities to practice this skill.

The activities below can be used for different parts of the lesson. Some work well as anticipatory sets while others are great for practicing.

They’re all engaging and many of them encourage collaboration.

The activities can be distributed across different moments de la lesson:

• Como actividad inicial, se puede utilizar un juego de Jeopardy durante unos 5 to 7 minutos.
• Después de una introducción, los laberintos pueden servir como trabajo inicial o repaso cíclico.
• Durante la práctica guiada, las tarjetas de tareas permiten resolver un problema y modelar la respuesta para toda la clase.
• Para el trabajo colaborativo, los estudiantes pueden resolver el mismo problema en grupos de 2 or 3 en una pizarra blanca.
• Para la práctica independiente o en parejas, se puede utilizar una actividad de pixel art.
• Como repaso antes de una prueba, Bingo permite trabajar con ecuaciones que incluyen fracciones y variables en ambos lados.
• Para una actividad de aplicación, la respuesta extendida puede ocupar 15-45 minutos.

This collection of ideas might seem like a lot of activities if you try and implement them all at once. Just try one activity and see how it goes in your classroom.

After that you can try a different one. The more engagement strategies you try you’ll probably it’s easy to become hooked on finding even more ways to add pizzazz to math practice activities.

tags: #actividades #de #ecuaciones #en #foma #concreta