Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos y se consideraban un concepto matemático importante.
Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menecmo, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas.
Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría.
Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura.
Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse mediante la intersección de un plano con un cono.
Un cono tiene dos partes de forma idéntica denominadas hojas.
Una hoja es lo que la mayoría de la gente entiende por "cono", con forma de sombrero de fiesta.
Las secciones cónicas se generan mediante la intersección de un plano con un cono (Figura 7.44).
Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y), la sección cónica es una hipérbola.
Si el plano es paralelo a la línea generatriz, la sección cónica es una parábola.
Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo.
Las cuatro secciones cónicas.
Parábola: definición, ecuación y simetría
Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora.
En este caso, el plano interseca solo una de las hojas.
Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado foco, es igual a la distancia a una línea fija, llamada directriz.
El gráfico de una parábola típica aparece en la Figura 7.45.
Utilizando este diagrama junto con la fórmula de la distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola.
Ahora supongamos que queremos reubicar el vértice.
Utilizamos las variables (h,k)(h,k) para denotar las coordenadas del vértice.
Entonces, si el foco está directamente sobre el vértice, tiene coordenadas (h,k+p)(h,k+p) y la directriz tiene la ecuación y=k−p.y=k−p.
Si se realiza la misma derivación se obtiene la fórmula (x−h)2 =4p(y−k).(x−h)2 =4p(y−k).
También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
Además, la ecuación de una parábola puede escribirse en la forma general, aunque en esta forma los valores de h, k y p no son inmediatamente reconocibles.
La primera ecuación representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo.
La segunda ecuación representa una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
El eje de simetría de una parábola vertical (que se abre hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice.
La parábola tiene una propiedad interesante de reflexión.
Supongamos que tenemos una antena parabólica con una sección transversal parabólica.
Consideremos una antena parabólica diseñada para recoger las señales de un satélite en el espacio.
La antena parabólica se orienta directamente hacia el satélite y un receptor se sitúa en el foco de la parábola.
Las ondas de radio procedentes del satélite se reflejan en la superficie de la parábola hasta el receptor, que recoge y descodifica las señales digitales.
Esto permite que un pequeño receptor recoja señales de un ángulo amplio del cielo.
Las linternas y los faros de los automóviles funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de luz (es decir, la bombilla) está situada en el foco y la superficie reflectante del espejo parabólico enfoca el haz de luz hacia delante.
La parábola de los talentos
Elipse: focos, ejes y aplicaciones
Una elipse también puede definirse en términos de distancias.
En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices.
El gráfico de una elipse típica se muestra en la Figura 7.48.
En esta figura los focos están marcados como FF y F′.F′.
Ambas están a la misma distancia fija del origen, y esta distancia se representa con la variable c.
Por lo tanto, las coordenadas de FF son (c,0)(c,0) y las coordenadas de F′F′ son (−c,0).(−c,0).
Los puntos PP y P′P′ están situados en los extremos del eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas (a,0)(a,0) y (−a,0),(−a,0), respectivamente.
El eje mayor es siempre la distancia más larga de la elipse y puede ser horizontal o vertical.
Por tanto, la longitud del eje mayor de esta elipse es 2a.
Además, PP y P′P′ se llaman los vértices de la elipse.
Los puntos QQ y Q′Q′ están situados en los extremos del eje menor de la elipse, y tienen coordenadas (0,b)(0,b) y (0,−b),(0,−b), respectivamente.
El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse.
Según la definición de la elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias de este punto a los dos focos es constante.
Supongamos que elegimos el punto P.
Por tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas (x,y)(x,y) también es igual a 2a.
Si volvemos a la Figura 7.48, entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de la línea verde es igual a a.
Esto es cierto porque la suma de las distancias del punto Q a los focos FyF′FyF′ es igual a 2a, y las longitudes de estos dos segmentos de línea son iguales.
Este segmento de línea forma un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa a y longitudes de catetos b y c.
A partir del teorema de Pitágoras, a2 =b2 =c2 a2 =b2 =c2 y b2 +a2 −c2 .b2 +a2 −c2 .
Consideremos la elipse con centro (h,k),(h,k), un eje mayor horizontal de longitud 2a y un eje menor vertical de longitud 2b.
y los focos se encuentran en (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 −b2 .c2 =a2 −b2 .
y los focos se encuentran en (h,k±c),(h,k±c), donde c2 =a2 −b2 .c2 =a2 −b2 .
Si el eje mayor es horizontal, la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la elipse se llama vertical.
La ecuación de una elipse está en forma general si tiene la forma Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0,Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0, donde A y B son ambos positivos o ambos negativos.
Según la primera ley de Kepler del movimiento planetario, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos, como se muestra en la Figura 7.50(a).
Como la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año.
Una idea errónea muy extendida es que la Tierra está más cerca del Sol en verano.
De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno.
La diferencia de estación se debe a la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital.
Las elipses también tienen propiedades interesantes de reflexión: Un rayo de luz que emana de un foco pasa por el otro foco después de la reflexión del espejo en la elipse.
Lo mismo ocurre con una onda sonora.
La Sala Nacional de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos en Washington, DC, es una famosa sala de forma elíptica, como se muestra en la Figura 7.50(b).
Esta sala sirvió como lugar de reunión de la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años.
La ubicación de los dos focos de esta sala semielíptica están claramente identificados por marcas en el suelo, e incluso si la sala está llena de visitantes, cuando dos personas se sitúan en estos puntos y hablan entre sí, pueden oírse mutuamente con mucha más claridad de la que pueden oír a alguien que esté cerca.
Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio situado en uno de los focos y podía escuchar a todos los demás en la Cámara sin necesidad de ponerse de pie.
Aunque es una buena historia, es poco probable que sea cierta, porque el techo original producía tanto eco que hubo que poner alfombras en toda la sala para amortiguar el ruido.
El techo fue reconstruido en 1902 y solo entonces surgió el ahora famoso efecto de susurro.
Hipérbola: distancia, asíntotas y reflexión
Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias.
En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices.
Una hipérbola típica en la que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante.
La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse.
Un pequeño inconveniente radica en la definición: La diferencia entre dos números es siempre positiva.
Supongamos que P es un punto de la hipérbola con coordenadas (x,y).(x,y).
Entonces la definición de la hipérbola da |d(P,F1)−d(P,F2 )|=constante.|d(P,F1)−d(P,F2 )|=constante.
Para simplificar la derivación, se supone que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto se eliminan.
Si está en la rama izquierda, la resta se invierte.
Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola.
Finalmente, divida ambos lados entre a2 −c2 .a2 −c2 .
Ahora definimos b de manera que b2 =c2 −a2 .b2 =c2 −a2 .
Esto es posible porque c>a.c>a.
Consideremos la hipérbola con centro (h,k),(h,k), un eje mayor horizontal y un eje menor vertical.
y los focos se encuentran en (h±c,k),(h±c,k), donde c2 =a2 +b2 .c2 =a2 +b2 .
Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y=k±ba(x−h).y=k±ba(x−h).
y los focos se encuentran en (h,k±c),(h,k±c), donde c2 =a2 +b2 .c2 =a2 +b2 .
Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y=k±ab(x−h).y=k±ab(x−h).
Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la hipérbola se llama vertical.
La ecuación de una hipérbola está en forma general si tiene la forma Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0,Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0, donde A y B tienen signos opuestos.
Escriba la ecuación 9x2 −16y2 +36x+32y−124=09x2 −16y2 +36x+32y−124=0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante.
Escriba la ecuación 4y2 −9x2 +16y+18x−29=04y2 −9x2 +16y+18x−29=0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante.
Las hipérbolas también tienen propiedades interesantes de reflexión.
Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco.
Esta propiedad de la hipérbola tiene aplicaciones importantes.
Se utiliza en la radiogoniometría (ya que la diferencia de las señales de dos torres es constante a lo largo de las hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de los telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico hacia el ocular).
La parábola de los talentos
Excentricidad, directrices y parámetro focal
Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad.
La excentricidad e de una sección cónica se define como la distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana.
La excentricidad de un círculo es cero.
La directriz de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica.
Las hipérbolas y las elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas.
Recordemos de la definición de parábola que la distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz.
Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1.
Las ecuaciones de las directrices de una elipse horizontal son x=±a2 c.x=±a2 c.
El vértice derecho de la elipse se encuentra en (a,0)(a,0) y el foco derecho es (c,0).
Por tanto, la distancia del vértice al foco es a−ca−c y la distancia del vértice a la directriz derecha es a2 c−a.a2 c−a.
Dado que c Las directrices de una hipérbola horizontal también se encuentran en x=±a2 c,x=±a2 c, y un cálculo similar muestra que la excentricidad de una hipérbola es también e=ca.e=ca. A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica p se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), c es la distancia del origen al foco y e es la excentricidad. Utilizando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, suponemos que uno de los focos de una sección cónica dada se encuentra en el polo. En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero hay que hacer que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción entre la constante que aparece delante del más o del menos en el denominador. Entonces el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la sección cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la sección cónica es horizontal. Si aparece el seno, entonces la sección cónica es vertical. Si aparecen ambos, los ejes se giran. El centro de sección cónica no está necesariamente en el origen. El gráfico de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si B≠0B≠0 entonces los ejes de coordenadas se giran. Para identificar la sección cónica, utilizamos el discriminante de la sección cónica 4AC−B2 .4AC−B2 . 4AC−B2 >0.4AC−B2 >0. 4AC−B2 =0.4AC−B2 =0. 4AC−B2 <0.4AC−B2 <0. El ejemplo más sencillo de una ecuación de segundo grado que incluye un término cruzado es xy=1.xy=1. Esta ecuación puede ser resuelta para y para obtener y=1x.y=1x. Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes de coordenadas x y y. Para determinar el ángulo θθ de rotación de la sección cónica, utilizamos la fórmula cot2 θ=A−CB.cot2 θ=A−CB. En este caso A=C=0A=C=0 y B=1,B=1, así que cot2 θ=(0−0)/1=0cot2 θ=(0−0)/1=0 y θ=45°.θ=45°. El método para graficar una sección cónica con ejes rotados implica determinar los coeficientes de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado. En los siguientes ejercicios, considere las siguientes ecuaciones polares de secciones cónicas. El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por x2 =4y.x2 =4y. Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. El receptor debe situarse en el foco. Consideremos la antena parabólica del problema anterior. Un reflector tiene forma de paraboloide de revol... x : Para indicar que el dato dado de la cónica no se puede expresar de forma clara con las notaciones usadas aquí. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) relacionó las curvas con ecuaciones relativas a un sistema de coordenadas; es lo que se conoce como Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las cónicas se pueden representar por ecuaciones algebraicas de segundo grado y, recíprocamente, todas las ecuación de segundo grado en dos variables representa sección cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en uno de sus focos. Para La Tierra, la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Para considerar que una cónica puede ser construida debemos conocer CINCO PUNTOS o bien SUS FOCOS y UN PUNTO.
Sección cónica Relación Parábola e=1 Elipse e<1 Hipérbola e=ca Círculo e=0